Je hebt een kaartspel wat is de kans dat de eerste kaart die je pakt schoppenaas is en de tweede schoppenheer?

De eerste kaart is schoppenaas 1/52
De tweede kaart is schoppenheer 1/51


       1 x 1
P = ---------
       52 x 51

P = 1/52 x 1/51 = 0.00037707390648567121

Kansen: permutatie zonder herhaling volgorde doet ertoe.

Bij combinaties werkt het dus anders AH en HA zijn hetzelfde,
Je hebt een kaartspel en pakt 2 kaarten.
Wat is de kans dat je de aas en de heer in schoppen hebt?

De 1e kaart kan dan een van de twee zijn 2/52.
De 2e kaart kan alleen 1/51 zijn.

       2 x 1
P = -----------
       52 x 51

P = 2/52 x 1/51 = 0.00075414781297134241

Combinaties zonder herhaling volgorde is onbelangrijk.

Hoeveel doubletons zijn er mogelijk in schoppen?
Er zijn 13 mogelijkheden voor de 1e kaart en 12 voor de 2e.
Dus 13x12.
Maar AH en HA zijn in bridge hetzelfde dus:


Notatie: C(13,2)

     13!
-------------- =
2! x (13-2)!


13 x 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
------------------------------------------------------------------- =
          2 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

13 x 12
--------- = 78
    2

Algemener het aantal combinaties:

                  n!
C(n,r) = -----------
              r! x (n-r)!

Waar n = aantal mogelijke combinaties en r = het aantal dat je kiest (n choose r)

De formule is ook bekend als: Binomiale Coëfficiënt

Kies 13 kaarten uit 52.

C(52,13)

      52!
----------------- = 635013559600
13! x (52-13)!

635013559600

Alle handen met vijf schoppens

Je kiest 5 kaarten uit 13 schoppens en 8 kaarten uit de andere 39 kaarten.
Het aantal handen met vijf schoppens = C(13,5) x C(39,8) = 79.181.063.676
Gedeeld door het aantal mogelijke handen 635,013,559,600
≈ 12,3%

Specifieke 5 33 2

Je kiest 5 schoppens uit 13, 3 hartens uit 13, 3 ruitens uit 13 en 2 klavers uit 13.

C(13,5) x C(13,3) x C(13,3) x C(13,2) = 8.211,173.256
Gedeeld door het aantal mogelijke handen 635,013,559,600
≈ 1,3%

Combinatie:
In welke volgorde je kaarten zitten is onbelangrijk.

A H V = H A V = A V H = V A H = H V A = V H A

Kies tien kaarten uit de 49 die niet schoppen AHV zijn

C(49,10)        13 x 12 x 11
------------- = ---------------------- = 0,0129411764705882 ≈ 1,3%
C(52,13)         52 x 51 x 50


Permutatie nu is de volgorde wel belangrijk: AHV.

1e kaart schoppenaas = 1/52 = 0,0192307692307692
2e kaart schoppenheer = 1/51 = 0,0196078431372549
3e kaart schoppenvrouw = 1/50 = 0,02

1/52 x 1/51 x 1/50 = 0.00007541478129713413 ≈ 0.0075%

Je kiest 13 kaarten uit de 48 die niet een aas zijn.

      C(48,13)
P = -----------
      C(52,13)

      39 x 38 x 37 x 36
P = ------------------ = ≈ 0,3 = 30 %
      52 x 51 x 50 x 49

Je kiest 12 kaarten uit de 51 die niet schoppenaas zijn.

C(51,12)      13
------------ = ---- = 0,25 = 25%
C(52,13)      52

Je kiest 1 van de vier azen en dan 12 kaarten uit de 48 die geen azen zijn.

C(4,1) x C(48,12)          39 x 38 x 37 x 13
---------------------- = 4 x ----------------------- = ≈ 44%
      C(52,13)                  52 x 51 x 50 x 49

Je kiest 2 van de 4 azen en dan 11 kaarten uit de 48 die geen azen zijn.

C(4,2) x C(48,11)          39 x 38 x 13 x 12
---------------------- = 6 x ----------------------- = ≈ 21%
      C(52,13)                  52 x 51 x 50 x 49

Je kiest 4 azen dat kan maar op 1 manier en 9 kaarten uit de 48 die geen azen zijn.

C(48,9)       13 x 12 x 11 x 10
----------- = ------------------------ = 0,25%
C(52,13)      52 x 51 x 50 x 49

Specifieke 4 4 3 2

C(13,4) x C(13,4) x C(13,3) x C(13,2)
------------------------------------------------
                  C(52,13)

(13,4) = 715 manieren om de schoppens te kiezen.
Voor elke van deze zijn er C(13,4) = 715 manieren om de hartens te kiezen.
En C(13,3) = 286 manieren om de ruiten te kiezen.
En uiteindelijk C(13,2) = 78 manieren om de klavers te kiezen.


Het aantal handen is 715 x 715 x 286 x 78 = 11.404.407.300
De kans erop is dus
11,404,407,300 / 635,013,559,600¹ = 0.0179593 ≈ 1.8%

1. = het aantal mogelijke bridge handen.

Alle 4432

Er zijn 4 kleuren om de doubleton te kiezen.
Er zijn 3 kleuren om de tripleton te kiezen.
Er is maar 1 manier om de resterende kleuren te kiezen.
Dus 4 x 3 x 1 x 1 = 12
Dus 12 x 0.0179593² ≈ 21,6%

2. = 12 maal de kans op een specifieke 4432.

C(13,4) x C(13,3) x C(13,3) x C(13,3)
------------------------------------------------ ≈ 0.0263 (specifiek))
                  C(52,13)

Er zijn vier verschillende verdelingen mogelijk : 4333 3433 3343 3334 dus 4 x 0.0263 = 0.0129 (alle)

Kies 39 kaarten uit de andere kleuren:
C(13,0) x C(39,13) / C(52,13)
8,122,425,444 / 635013559600 = 0.0127909 ≈ 1.3%

Het aantal handen met tenminste 1 renonce = 4 x C(39,13) - 6 x C(26,13) + 4
Dus de kans erop is 32427298180 / 635013559600 = 0.051 ≈ 5,1%

Kies 13 kaarten uit de 32 (alle kaarten behalve AHVBT)
C(32,13) / C(52,13)
347373600 / 635013559600 = 0.00054703 ≈ 0.054703%   (1 op 1828)

Wat is de kans op tenminste 1 Yarborough als je 24 spellen speelt?
De kans op geen Yarborough is 1 - 0.00054703 = 0.99945297 (1 spel)
De kans op geen Yarborough op 24 spellen is (0.99945297)²⁴ ≈ 0.9869535
Dus de kans op een Yarborough op 24 spellen is 1 - 0.9869535 = 0.0130465 = 1.30465%   (1 op 77)

FACT(52) / ((FACT(13)^4)³

Aantal mogelijke spellen 53,644,737,765,488,792,839,237,440,000

3. = ^4 is tot de 4e macht

Een onuitspreekbaar groot getal

128,745,650,347,030,683,120,231,926,111,609,371,363,122,697,557.

Je hebt samen met dummy 7 schoppens wat is de kans dat die kleur 3-3 zit bij tegenstander?
Kies drie van de zes schoppens en tien kaarten van 20
(26 van de kaarten van jou en dummy, dus blijven er 26 voor de tegenstander uit om van te kiezen)

Er zijn C(6,3) manieren waarop een tegenstander 3 schoppens kan hebben en C(20,10) mogelijkheden voor de rest van zijn hand.
C(6,3) x C(20,10) / C(26,13)

3,593,120 / 10,400,600 = 35%

Klaver zeven start

Je zit in zes schoppen west start met klaver 7, 1e3e5e. Je gelooft niet in klaverheer goed en legt de aas.

Noord

A 8

A V 10 9 8 6

10 3

A V 3

Zuid

V B 10 9 6 5 4 3 2

5

A 4

B

Er zijn twee mogelijke verliezers een ruiten en schoppenheer.

Er zijn twee speelwijzen die in aanmerking komen:
1. Sla schoppen aas en neem de hartensnit 0.52 + (1 - 0.52) x 0.5 = 0.76 = 76%
2. Snij in met schoppen en snij in harten 0.5 + (1 - 0.5) x 0.5 = 0.75 = 75%

Je hebt één van twee succesvolle gebeurtenissen nodig.
P = a + ( (1-a) x b )

Als je in zeven schoppen zit heb je twee van twee succesvolle gebeurtenissen nodig.
Schoppenheer valt plus hartenheer goed.
0.52 x 0.5 = 0.26 = 26%

Je hebt twee van twee succesvolle gebeurtenissen nodig.
P = a x b

Ruitenheer start

Je zit in zes schoppen west start met ruitenheer. Sla schoppenaas, sla hartenaas en neem de klaversnit.
Je hebt één van drie succesvolle gebeurtenissen nodig.
De alternatieven zijn minder kansrijk: Speel harten naar het aas troef een harten met schoppenvrouw speel schoppen naar het aas en troef een harten met de boer, dit gaat mis gaat bij een renonce harten. Ook het speelplan klaver aas klaver getroefd hopende op klaverheer sec of double is minder kansrijk.

P = a + ( (1-a) x b ) + (1-(a+b)) x c

De kans dat de schoppenheer valt = 0.52
De kans op hartenheer singleton 0.024
Klaver snit goed = 0.5

Berekening
schoppenheer valt = 0.52
hartenheer valt = (1 - 0.52) x 0.024 = 0.027
klaversnit goed = (1 - (0,52 + 0.027) ) x 0.5 = 0.226
Totaal = 0.7735 = 77.4%

Berekening kans op hartenheer singleton

In zeven schoppen moet schoppenheer vallen, plus de kans op hartenheer singleton of klaver heer goed
0.52 x (0.056 + 0.5) = 0.28912 ≈ 28.9%